ADsP 기대값과 분산 계산, 선형변환 E(aX+b)·Var(aX+b) 공식과 독립 확률변수의 합·차 분산 핵심 정리
기대값·분산은 3과목에서 직접 계산하는 문제로 자주 나오는 파트야
공식 몇 개만 정확히 외우면 바로 점수로 연결되니까 확실하게 잡아보자
ADsP 기초이론 정리 시리즈 24탄!!!
과목 : 3과목 데이터 분석
세부 영역 : 통계분석 - 통계학 개론
▶ [이론 23] 확률분포 이산형 vs 연속형 보러가기
1. 기대값 E(X)
기대값은 확률변수가 평균적으로 가질 것으로 기대되는 값이야
이산형 : E(X) = Σ x × P(X = x)
연속형 : E(X) = ∫ x × f(x) dx
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(X = x) | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
| x × P(x) | 0 | 0.5 | 0.6 |
E(X) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1
확률의 합이 1인지 먼저 확인하는 습관도 들이자
2. 분산 Var(X)와 표준편차
분산은 값들이 기대값에서 얼마나 퍼져 있는지 나타내
Var(X) = E[(X − μ)²] = E(X²) − [E(X)]²
표준편차 = √Var(X)
| 계산 단계 | 위 예시 |
| E(X²) | 0² × 0.2 + 1² × 0.5 + 2² × 0.3 = 1.7 |
| [E(X)]² | 1.1² = 1.21 |
| Var(X) | 1.7 − 1.21 = 0.49 |
| 표준편차 | √0.49 = 0.7 |
3. 선형변환 공식
Y = aX + b 처럼 곱하고 더하면 기대값과 분산이 이렇게 바뀌어
| 구분 | 공식 | 포인트 |
| 기대값 | E(aX + b) = aE(X) + b | 곱한 만큼, 더한 만큼 그대로 이동 |
| 분산 | Var(aX + b) = a²Var(X) | b는 영향 없음, a는 제곱 |
| 표준편차 | SD(aX + b) = |a| × SD(X) | 절댓값이라 음수 불가 |
48회 출제 포인트 : 상수를 더해도 분산은 그대로라는 점, a를 제곱하는 걸 빼먹는 실수가 많아
4. 두 확률변수의 합과 차
| 구분 | 공식 |
| 기대값 | E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) (독립 여부 상관없음) |
| 분산 (일반) | Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2Cov(X, Y) |
| 분산 (독립) | Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) |
49회 출제 포인트 : X − Y여도 독립이면 분산은 더해져! 빼면 안 돼
독립이면 공분산 Cov(X, Y) = 0 이 되기 때문이야
5. 주요 분포의 기대값과 분산
| 분포 | 기대값 | 분산 |
| 이항분포 B(n, p) | np | np(1 − p) |
| 포아송분포 (λ) | λ | λ |
| 정규분포 N(μ, σ²) | μ | σ² |
| 표준정규분포 | 0 | 1 |
[ 최근 기출 출제 포인트 ]
| 회차 | 출제 포인트 |
| 47회 | 확률분포표를 주고 기대값 계산 |
| 48회 | 선형변환 후 기대값·분산 계산 (상수항은 분산에 영향 X) |
| 49회 | 독립인 두 확률변수의 합·차의 분산 |
[ 자주 묻는 질문 ]
Q. Var(−X)는 −Var(X)야?
A. 아니야! a = −1이라 a² = 1, 그래서 Var(−X) = Var(X)야, 분산은 절대 음수가 안 돼
Q. E(XY) = E(X) × E(Y)는 항상 성립해?
A. X와 Y가 독립일 때만 성립해, 합의 기대값과 달리 조건이 붙어
[ 시험 포인트 정리 ]
| 키워드 | 핵심 |
| 기대값 | Σ x × P(x) |
| 분산 | E(X²) − [E(X)]² |
| E(aX + b) | aE(X) + b |
| Var(aX + b) | a²Var(X) |
| SD(aX + b) | |a| × SD(X) |
| 독립 합·차 분산 | Var(X) + Var(Y) |
| 이항분포 | 평균 np, 분산 np(1 − p) |
[ 기출변형문제 ]
※ 47~49회 출제 포인트를 바탕으로 새로 만든 변형문제야
Q1. 확률변수 X가 1, 2, 3을 각각 확률 0.3, 0.4, 0.3으로 가질 때 E(X)는?
① 2.0
② 1.8
③ 2.2
④ 2.5
Q2. E(X) = 5, Var(X) = 4일 때 Y = 3X + 2의 기대값과 분산은?
① 17, 12
② 15, 36
③ 17, 36
④ 17, 38
Q3. Var(X) = 9일 때 Y = −2X + 7의 표준편차는?
① −6
② 6
③ 36
④ 11
Q4. X와 Y가 서로 독립이고 Var(X) = 4, Var(Y) = 9일 때 Var(X − Y)는?
① 5
② −5
③ 36
④ 13
Q5. 기대값과 분산의 성질로 옳지 않은 것은?
① E(X + Y) = E(X) + E(Y)
② Var(X + b) = Var(X)
③ Var(aX) = aVar(X)
④ X와 Y가 독립이면 Cov(X, Y) = 0
[ 정답 & 해설 ]
| 문항 | 정답 및 해설 |
| Q1 | ① 1 × 0.3 + 2 × 0.4 + 3 × 0.3 = 0.3 + 0.8 + 0.9 = 2.0 (47회 출제 포인트) |
| Q2 | ③ E(Y) = 3 × 5 + 2 = 17, Var(Y) = 3² × 4 = 36 (48회 출제 포인트) |
| Q3 | ② Var(Y) = (−2)² × 9 = 36, 표준편차 = √36 = 6 |
| Q4 | ④ 독립이면 Var(X − Y) = 4 + 9 = 13 (49회 출제 포인트) |
| Q5 | ③ Var(aX) = a²Var(X), a를 제곱해야 함 |
다음 글은 데이터를 숫자로 요약하는
[이론 25] 기술통계 대푯값·산포도·왜도·첨도
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을 정리해볼게!
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ADsP 준비하시는 분들 모두 화이팅입니다~~~~~ ^^